平衡、擾動、固有頻率
物體靜止時會停在各方向受力剛好抵銷的位置，叫做平衡位置（equilibrium）；任何把它推離這個位置的東西，像敲擊、撥弦、風或聲波，都可以稱為擾動。 當物體受到擾動後，本身的彈性又會產生一股回復力（restoring force）把它拉回來，數次來回就形成了震動，換算成每秒來回幾次，就是它的頻率。
拿玻璃杯來舉例，當用指尖輕彈玻璃杯時，雖然杯子看起來一動也不動， 但發出「叮」的那一刻，杯緣其實正在微幅變形，速度也遠超過人眼能分辨的範圍， 所以才會有「靜止卻能發出聲音」的錯覺；而杯壁每秒幾百次推動空氣的節奏，就是我們聽到的聲音。
更特別的是，不管彈幾次、彈多大力，同一個杯子發出的「叮」都是同一個音高。 這是因為每個物體都有自己的固有頻率（natural frequency），受到擾動後，多數都會以這個頻率震動；擾動本身通常只影響振幅，也就是聲音的大小。 固有頻率主要由兩件事決定：
- 質量：越重越難推動，來回越慢。
- 硬度：回復力越強，拉回來越快，來回越快。
樂器就是利用這個特性做出來的：吉他弦的長度、粗細與張力決定它的音高，按下琴格就是縮短長度； 把尺壓在桌邊撥動，伸出去越長晃得越慢；對著寶特瓶口吹氣，裝了水之後空氣變少，聲音就變高，倒水時聽得出「快滿了」也是同一個原因。 不只會發聲的東西，鋼鐵、木頭、橋梁、大樓也都有彈性，都有自己的固有頻率，只是越硬的東西變形越小。 所以一個物體被擾動之後，會以固有頻率來回震動，再隨著能量流失慢慢停下。
另外，一個物體通常不只一個固有頻率。 杯緣可能扭成橢圓，也可能扭成三角、四角的形狀，每一種振動模式都各有自己的頻率； 只是最低的那個通常最明顯，其他模式則混在聲音裡，形成每個杯子不同的音色。 這概念與泛音列很像，差別在於杯子這類物體的模式頻率通常不是整數倍，比琴弦的非諧性還要明顯得多。
如何優雅地震碎玻璃杯
1972 年，Memorex 拍了一支很有名的錄音帶廣告：Ella Fitzgerald 對著麥克風唱出一個高音，旁邊的酒杯應聲碎裂； 接著播放剛錄下的錄音帶，酒杯又碎了一次，旁白問：「Is it live, or is it Memorex?」 廣告想強調的是錄音帶的音質好到以假亂真，但從物理的角度來看，能不能震碎杯子和錄音帶的品質沒甚麼關聯性。
不管是現場歌聲還是錄音帶播放，能震碎玻璃杯的關鍵都是同一件事情：持續用接近杯子固有頻率的節奏推它。 只要推得夠久、能量又流失得夠慢，杯緣的變形就會一輪一輪累積，直到超過玻璃能承受的程度。
受迫振動與共振
杯子的震動太小也太快，不容易觀察，這裡先用盪鞦韆來模擬。 假設鞦韆已經在擺盪，依照推的節奏和時機，大致可以分成三種情況：
- 每次都順著推：每一次推都在幫它加一點能量，能量一輪一輪累積，就算力道很輕，幅度也會一次比一次大。
- 有時順、有時逆：推的節奏跟鞦韆的節奏不一樣，推的時間點會一輪一輪慢慢偏移。能量加進去之後又被拿走，鞦韆會忽大忽小，怎麼推都盪不高。
- 每次都逆著推：每一次推都在把能量拿走，鞦韆會越盪越小，最後停下來。
像這樣外力持續推動物體的狀態，叫做受迫振動（forced vibration）。
受迫振動剛開始時，物體會同時帶著兩種節奏：一種是被擾動後自己晃出來的固有頻率，另一種是外力帶動的頻率。 兩者混在一起，一下疊加、一下抵消，振幅忽大忽小。 但固有頻率的部分就像只推一次的情況，會隨著能量流失慢慢消失，最後只剩下外力在帶動，物體就會跟著外力的頻率震動。
這時候，固有頻率決定的不再是物體用什麼節奏震，而是震得多大： 外力的頻率離固有頻率越遠，推的時機越容易錯開，振幅越小；越接近，能量越容易累積，振幅就越大。 當兩者幾乎對上時，振幅會變得特別大，這就是共振（resonance）。 所以共振不是外力最大（最大聲）的結果，而是頻率（音高）對上的結果。
阻尼
敲一下鐘，聲音可以響好幾秒；敲一下桌子，「叩」一聲就沒了。 兩者都有固有頻率，差別在於每晃一次，摩擦、空氣阻力、材料內部的損耗會帶走多少能量，這種損耗叫做阻尼（damping）。 前面說要「能量流失得夠慢」，指的就是阻尼要小。
在受迫振動裡，外力每一輪推進一點能量，阻尼每一輪拿走一點能量，振幅會一直變大，直到兩邊打平為止。 阻尼大的物體很快就打平了，振幅停在很小的地方；阻尼小的物體要累積到很大的振幅，流失的能量才追得上推進來的能量。 這也是為什麼同樣用對的音高去唱，對著水晶杯唱可能會碎，對著塑膠杯唱卻怎麼樣都不會：塑膠杯的阻尼大，能量還沒累積起來就先被吃掉了。
所以震碎玻璃杯，靠的是共振加上低阻尼：音高對上杯子的固有頻率，每一輪都順著推； 杯子本身又很難把能量消耗掉，推進去的能量才能一路累積，直到杯緣的變形超過玻璃能承受的程度。
日常生活中的共振
開車時，車子有時會在某個速度特別抖；洗衣機脫水時，也常在轉速爬升的某一段晃得特別厲害。 這些都是外力的頻率剛好掃過固有頻率，短暫進入了共振。 理解共振之後，我們開始把它應用在各種發明上，其中不少後來還被其他領域借鑑使用。
1711 年，英國宮廷小號手 John Shore 因為嘴唇受傷不能再吹小號，改彈魯特琴，又嫌當時的定音笛不準，就做了一支兩個齒的金屬叉來調音，這就是音叉。
它的固有頻率只由形狀和材質決定，敲多大力、放多久都不會變，所以一百多年後，它從樂手的小工具變成了實驗室的精密儀器。
到了現在，幾乎每支石英錶裡都還有一支小音叉：一小片切成音叉形狀的石英，固有頻率被精準調到每秒 32768 次，電路只要數它震了幾下，就知道過了一秒。
1909 年，德國工程師 Hermann Frahm 想解決船在海上一直搖晃的問題，申請了一個專利：在主結構上掛一個小的質量和彈簧，把它的固有頻率調成跟船差不多，讓它反向擺動，把船的能量吸走。 這個想法後來被叫做調諧質量阻尼器（tuned mass damper），一百年後被掛到了台北 101 的大樓上層，變成那顆巨大的阻尼球。
1967 年，三位電子工程師 Kerwin、Huelsman 和 Newcomb 想解決的，是積體電路裡的濾波器太容易受到零件誤差影響的問題。 他們借用了類比電腦解微分方程的方法，用兩個積分器接成一個迴圈，做出一個在電路裡模擬「質量、彈簧、阻尼」的共振器，而且頻率和阻尼都能獨立調整。 這種電路叫做狀態變數濾波器（state variable filter，SVF），原本只是工程上的一個解法， 但沒過幾年就被做進了合成器，成了現在效果器和合成器裡最常見的濾波器之一。
聲音裡的共振
樂器共振
琴弦本身很細，振動時推不動多少空氣，直接聽其實很小聲。 吉他、小提琴的琴身就是刻意設計來共振的：琴弦的振動傳到琴身，琴身和裡面的空氣跟著震動，推動更多空氣，聲音才會變大。 每把琴的形狀和木頭不同，固有頻率也不同，會特別放大的頻段也不一樣，這就是每把琴各有個性的原因。
如果你曾經拿一把琴，從第一格開始一格一格彈下去、仔細聽每個音的音量和延音，會發現它們其實不太一樣。 每個音都差不多的琴會說它「平衡很好」；低音特別飽滿的會說它「低頻很厚」； 如果某幾格的聲音特別短，一彈下去很快就沒了，這種音則被稱為「死音」。
這些差異來自琴身和琴頸。它們的材料、形狀和結構不同，各自都有自己的固有頻率。 當某個音剛好對上這些固有頻率，就會跟著產生共振，結果可能有兩種： 一種是琴身跟著一起震，把那個音放大，如果落在低音域，聽起來就是低頻很厚； 另一種是琴頸把琴弦的能量「吸走」，拿去讓自己晃，留給琴弦的就少了，聲音很快消失，就成了死音。
當然這些特性多少都能校正。 例如低音弦太飽滿，可以把拾音器靠低音弦的那一側調低一點； 遇到死音，則可以在琴頭夾上一個叫 Fat Finger 的金屬夾子，增加琴頭的質量來改變琴頸的固有頻率，改變死音的點。
嘴巴的共振
聲帶的振動決定音高，但發出的聲音很單調，像一聲「嗡」，只有基頻和一整排泛音； 這個聲音接著經過喉嚨、口腔和鼻腔，這幾個空間就像玻璃杯一樣有好幾個固有頻率， 會把泛音裡的某幾段特別放大，這些被放大的區域叫做共振峰（formant）。
嘴巴張開或閉上、舌頭往前或往後，空間的形狀一變，共振峰就跟著移動，我們聽到的「母音」也就不同。 可以試試看講悄悄話：聲帶不振動、沒有音高，但「ㄧ」和「ㄚ」還是分得出來，因為「母音」是嘴型決定的，不是聲帶。
嘴型不只因人而異，每個語言也有自己習慣的嘴型。 語言學家把說話前舌頭、嘴唇和下巴預設停放的位置，叫做發音設定（articulatory setting）。 例如有研究量測發現，說英語的人舌尖通常比說法語的人高、嘴唇也比較往前噘；每種語言的母音，也都落在各自習慣的共振峰位置上。
這也是外國腔的主要來源之一。 學新語言時，我們很自然會把新的音對應到母語裡最接近的那個音，嘴巴也還停在母語的預設位置，共振峰就落在母語習慣的地方。 例如日語只有一個介於 r 和 l 之間的音，所以日本人說英語時，常常把這兩個音說成同一個。
另外，音高和嘴型也不是完全分開的。 說中文的人每天都在分開使用這兩件事：念「媽、麻、馬、罵」時，嘴型不變，只有音高在變，聲調就是靠音高來區分字義的。 但嘴型其實也會偷偷影響音高：在幾乎所有語言裡，「ㄧ」和「ㄨ」這類舌頭抬高的母音，說起來都會比「ㄚ」高一點點，這叫做母音的內在音高（intrinsic pitch）。
耳朵的共振
耳朵裡有一條細長的基底膜，從入口到深處，寬度和硬度一路改變， 每一段的固有頻率都不一樣：靠近入口的又窄又硬，對高頻反應最大；越往深處越寬越軟，越偏向低頻。
所以基底膜其實可以看成好幾段彼此重疊的頻率感測器，每一段只對自己負責的那一小段頻率有反應。 聲音進來時，哪幾段被推動，大腦就知道聲音裡有哪些頻率；聽覺研究常把整個可聽範圍分成大約 24 段來描述。 之前講到大腦用泛音之間的間距判斷音高，那些泛音就是這樣先被拆開的。
這些感測器也會老化，而且通常是負責高頻、靠近入口的那幾段最先退化，所以年紀越大，越先聽不到高頻。 確切原因目前還不清楚，但結果很明顯：有些「只有年輕人聽得到」的高頻鈴聲，大人怎麼聽都聽不到。
回授共振
麥克風對著喇叭時，聲音從喇叭出來、被麥克風收進去、放大後再送回喇叭，每繞一圈就大一點，這種迴圈叫做回授（feedback）。 這就像阻尼變成負的：每晃一次不但沒有損耗，還有人從旁邊多推一把，振幅不會停在打平的地方，而是一路往上衝。
而被叫出來的那個音高，也是共振挑出來的。房間、喇叭、麥克風各自都有固有頻率，聲音每繞一圈，被它們放大最多的那個頻率就多佔一點優勢， 繞幾圈之後，它就蓋過其他頻率，變成那聲刺耳的嘯叫，直到音響被推到極限。